「健康的な食生活をするべきだ」を

You should eat heathy. 

と言ったらまちがいでしょうか？

はい、文法的にはまちがいです

healthily という副詞を使うのが文法的に正しいです

しかし

近年、特にアメリカ英語では

healthily の代わりに healthy を代用することが多く

You should eat heathy. という表現も使われます

healthy を「副詞」として用例解説している英和辞書は

現在ほとんど無いと思いますが

10年後には一般的になっているかもしれません